「20%引き→20%増しで元に戻る」は誤り｜パーセント往復誤差の正体

パーセントは「何に対しての何%か」が動くため、上下で同じ%を往復しても元値には戻りません。 1,000円→800円→960円で、結果は4%減です。

1. 数字で確かめる：1,000円の20%往復

1,000円の20%引きは1,000−200＝800円です。この800円に対して20%増しを計算すると、800×0.2＝160なので、800＋160＝960円。元の1,000円には届きません。

「20%引きだから0.8倍」「20%増しだから1.2倍」を掛け合わせると0.96で、ぴったり4%減です。同じ%だから打ち消し合うはずという直感は、ここでは正しく働きません。

20%引きの「20%」は1,000円に対しての20%、20%増しの「20%」は800円に対しての20%です。途中で基準が小さくなっているため、増し幅の絶対値（160円）は引き幅（200円）より少なくなります。

逆方向でも同じです。先に20%増し→20%引きと回しても、1,000→1,200→960で結果は同じ4%減になります。順序は関係なく、上下の基準が違うことが本質です。

50%引き（×0.5）のあとに100%増し（×2）は元に戻ります。0.5×2＝1なので、これは「逆数の関係」だからです。一方、20%引き（×0.8）の逆数は1.25（25%増し）です。

つまり、X%引きを元に戻すには「X/(100−X) %」の増しが必要です。20%引きなら25%増し、10%引きなら約11.11%増しが必要、逆も同じ式が使えます。

往復誤差はあちこちで顔を出します。たとえば株価が30%下落し、その後30%上昇しても、元の株価には戻りません（×0.7×1.3＝0.91で9%減）。30%下落から完全に取り戻すには約42.86%の上昇が必要です。

X%下げから元に戻すために必要な上昇率は「X ÷ (100 − X) × 100 %」、逆にX%上げから元に戻すために必要な下落率は「X ÷ (100 + X) × 100 %」です。